Topologie en Wiskundige Fisika

Hierdie navorsingsgroep word onder leiding van Dr Bruce Bartlett, wat ook lid van die breër navorsingsgroep “Getalteorie en Meetkunde” is. Die afgelope twee dekades of so het ‘n merkwaardige herlewing in die interaksie tussen suiwer wiskunde en teoretiese fisika gesien. Vir wiskunde het dit gelei tot ‘n invloei van diepgaande nuwe idees, idees wat dikwels vreemd en bizar lyk vanuit ‘n tradisionele wiskundige perspektief, maar wat tog nuttig geblyk het. Spesifiek, dit was die impak van idees uit kwantumveldteorie oor meetkunde wat die nuttigste was; Dit het ‘n nuwe veld genaamd “kwantumtopologie” gekweek wat hierdie idees probeer verstaan ​​en in ‘n samehangende wiskundige raamwerk plaas. Die hoof tema is om die fisikus se kragtigste instrument, die “padintegraal” te verstaan, en om die gevolglike strukture te gebruik om nuwe invariante van meetkundige voorwerpe soos knope en manifolds te bereken. Hierdie strewe trek op baie dele van moderne wiskunde soos hoër kategorie teorie, homotopietheorie en voorstellingsteorie. Om ‘n idee te kry van wat “kwantumtopologie” gaan, oorweeg die volgende twee knope:

Kan die linkerhandknoop (bekend as die “linkerhandige dwarsbalk”) voortdurend in die regterknoop vervorm word (bekend as die “regterhandige dwarsbalk”)? Die reël is: jy mag die strande van die knoop in die ruimte deformeer, maar jy kan nie die stringe deurmekaar laat nie. Miskien as ons die linkerkantse trefoil “om” draai? Nee - probeer dit, jy sal iets kry wat nie dieselfde is as die regterhandskoene nie. So ons vermoed hierdie twee knope is nie dieselfde nie. Maar hoe kan ons dit bewys? Wel, een manier om dit te bewys, is deur die Jones-polinoom van elke skakel te bereken. In 1984 het Jones ‘n manier ontdek om polinoom te knoop, sodanig dat as twee verskillende knope verskillende Jones-polinoomme kry, weet ons dat hulle nie in mekaar vervorm kan word nie! Dit blyk dat die Jones-polinoom van die linkerhandse trefoil is \[- 1 / t ^ 4 + 1 / t ^ 3 + 1 / t \] terwyl die Jones-polinoom van die regterhandse trefoil knoop is \[t + t ^ 3 - t ^ 4. \]

Hierdie twee polinoom is nie dieselfde nie … sodat die knope nie in mekaar kan vervorm word nie! Om meer oor hierdie soort dinge te lees, probeer die volgende verwysings: • Sossinsky, Mathematics with a twist. Introductory book about knots and some of the quantum invariants. Vir die lekkers, bevat ‘n paar foute maar uiters leesbaar. • John Baez, Quantum gravity lecture notes. • Atiyah, The geometry and physics of knots, Lezioni Lincee (1990). Boek deur Atiyah waarin Witten se kwantumveldteorieformulering van die Jones-polinoom in terme van Chern-Simons-teorie verduidelik word. • Jones, The Jones polynomial. Vinnige inleiding tot die Jones-polinoom van Vaughan Jones self. • Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial. Oorspronklike papier deur Witten waarin ‘n meetkundige verduideliking vir die Jones-polinoom in terme van kwantumveldteorie uiteengesit word. Nog baie leesbaar en ‘n goeie inleiding tot die vak. • Bruce Bartlett, Categorical aspects of topological quantum field theories. ‘N Meestersgraad van my wat ‘n rowwe uiteensetting van topologiese kwantumveldteorie uit die hoërkategoriehoek gegee het.