Funksionaalanalise

Hierdie kerngebied van wiskunde, wat die studie van genormeerde ruimtes, Banach- en Hilbertruimtes, die operatore op hulle en veralgemenings van hierdie konsepte behels, onderlê baie van die navorsing en toepassings in afdelings van analise soos maat- en waarskynlikheidsteorie, finansiële wiskunde, kwantumveldteorie in teoretiese fisika, benaderingsteorie en differensiaal- en integraalvergelykings. Ons groep is betrokke by een van die aktiewe navorsingsgebiede, wat die spektraalteorie van operatore en, meer algemeen, in Banachalgebras betref. Spektraalteorie is een van die belangrikste takke van moderne funksionaalanalise en toepassings daarvan.

Rofweg gaan dit oor sekere inverse operatore wat natuurlik voorkom in die konteks van die oplossing van vergelykings (byvoorbeeld differensiaal- en integraalvergelykings). Spektraalteorie kan ook beskou word as ‘n veralgemening van die eiewaarde-teorie vir matrikse. Sommige navorsing behels ook die teorie van sterk kontinue halfgroepe van operatore met ‘n spesifieke fokus op vermenigvuldigingsoperatore op vektorwaardige funksieruimtes en stabiliteitskonsepte. Dít brei ook uit na operator-teoretiese aspekte van ergodiese teorie. Die lede van ons groep is Dr R Benjamin, Dr R Heymann en Prof Sonja Mouton. Ons werk individueel en ook saam. Daarbenewens het ons medewerkers elders in Suid-Afrika, sowel as in Duitsland, Ierland, Nederland, die Verenigde Koninkryk en Zambië. M.Sc. en Ph.D. proefskrifte wat deur onlangse studente geskryf is, sluit die volgende onderwerpe in: spektrumbewarende afbeeldings, eindige rangelemente, Fredholm-teorie, Drazin-omkering en veral aspekte van spektraalteorie in geordende Banach-algebras. Die volgende lys bevat ‘n paar van ons onlangse artikels. (Nr. 7 is ‘n oorsigsartikel.)

1. R. Heymann: Eigenvalues and stability properties of multiplication operators and multiplication semigroups. Mathematische Nachrichten 287, 2014, 574-584.
2. S. Mouton: Applications of the scarcity theorem in ordered Banach algebras. Studia Mathematica 225, 2014, 219–234.
3. S. Mouton and K. Muzundu: Domination by ergodic elements in ordered Banach algebras. Positivity 18, 2014, 119–130.
4. R. Benjamin and S. Mouton: Fredholm theory in ordered Banach algebras. Quaestiones Mathematicae 39, 2016, 643–664.
5. R. Benjamin and S. Mouton: The upper Browder spectrum property. Positivity 21, 2017, 575-592.
6. S. Mouton and R. Harte: Linking the boundary and exponential spectra via the restricted topology. Journal of Mathematical Analysis and Applications 454, 2017, 730-745.
7. S. Mouton and H. Raubenheimer: Spectral theory in ordered Banach algebras. Positivity 21, 2017, 755-786.
8. R. Benjamin and S. Mouton: A note on the lower Weyl and Lozanovsky spectra of a positive element. Positivity 22, 2018, 533-549.
9. R. Benjamin: Spectral mapping theorems for the upper Weyl and upper Browder spectra, to appear in Quaestiones Mathematicae.
10. R. Benjamin, N. Laustsen and S. Mouton: r-Fredholm theory in Banach algebras, to appear in Glasgow Mathematical Journal.