Department van Wiskundige Wetenskappe

Wiskunde

Inleidende Komplekse Analise, Reekse en Toepassings

Die module is verdeel in twee afdelings: Komplekse Analise, en Reekse en Toepassings. Die doel van die eerste afdeling is om die basiese eienskappe van komplekse funksies en integrasie in die komplekse vlak bekend te stel. Die volgende onderwerpe word behandel: Komplekse getalle en die poolvorm daarvan, afbeeldings van versamelings in die komplekse vlak, analitisiteit en differensieerbaarheid van funksies, die eksponensiaal- en logaritmiese funksies asook die trigonometriese en hiperboliese funksies en hulle inverses. Daarna word integrasie in die komplekse vlak behandel, en aandag word geskenk aan die parametrisering van kontoere en kontoerintegrasie, padonafhanklikheid en die gebruik van die Integraalformules van Cauchy. Na ‘n bespreking van Taylor- en Laurentreekse volg die definisie en berekening van residue en toepassings daarvan, asook konforme afbeeldings.

Die eerste deel van die tweede afdeling, naamlik Reekse en Toepassings, handel oor oneindige rye en oneindige reekse, asook die stelling van Taylor en die voorstelling van funksies met oneindige reekse. Daarna word die uitbreidings van periodiese funksies in terme van Fourierreekse bespreek, met toepassings in die oplossing van parsiële differensiaalvergelykings. Vervolgens word Fouriertransforms en toepassings daarvan bespreek, en laastens Besselfunksies.

Modulegegewens

  • 47953 244 (15) Ingenieurswiskunde E 244
  • Jaargang 2, semester 2, van die Program in Elektriese en Elektroniese Ingenieurswese.
  • 4 voorlesings en een tutoriaal van 2 uur per week.
  • Slaagvoorvereiste (PP³50): Ingenieurswiskunde 145 of 214; Voorvereiste (KP³40): Ingenieurswiskunde 214.
  • Taalspesifikasie: A & E

Dosente

  • Dr S Mouton (Afrikaans). Kantoor: Van der Sterr-gebou 2022; e-pos: smo@sun.ac.za
  • Dr Z Janelidze (Engels). Kantoor: Van der Sterr-gebou 3014; e-pos: zurab@sun.ac.za

Studiemateriaal
Voorgeskrewe handboeke:

  • [1] J Stewart: Calculus (5de uitgawe), Thomson, 2003.
  • [2] DG Zill & MR Cullen: Advanced Engineering Mathematics (3de uitgawe), Jones and Bartlett Publishers, 2006.

Module-Inhoud

Eerste afdeling:

  • [2] Hoofstuk 17: Funksies van ‘n komplekse veranderlike.
  • [2] Hoofstuk 18: Integrasie in die komplekse vlak.
  • [2] Hoofstuk 19: Reekse en residue.
  • [2] Hoofstuk 20: Konforme afbeeldings.

Tweede afdeling:

  • [1] Hoofstuk 12: Oneindige rye en oneindige reekse.
  • [2] Hoofstuk 12: Seksies 12.2 tot 12.4: Fourierreekse.
  • [2] Hoofstuk 13: Seksies 13.1 tot 13.5: Parsiële differensiaalvergelykings.
  • [2] Hoofstuk 15: Seksies 15.3 tot 15.4: Fouriertransforms.
  • Notas: Besselfunksies.

Leergeleenthede

Die leerstof word volledig behandel tydens die voorlesings. Gedurende die tutoriaalperiodes is daar geleentheid om probleme onder toesig op te los en onduidelikhede uit die weg te ruim.

Assessering

  • Metode: Verwerf klaspunt (KP³40) en slaag eksamen (PP³50).
  • Die klaspunt word bepaal deur die semestertoets tydens die Ingenieurstoetsweek. ‘n Addisionele toets vind plaas in die vierde kwartaal; die gemiddelde van die punt van hierdie toets en dié van die semestertoets word gebruik.
  • Prestasiepuntformule: PP = 0,4 KP + 0,6 EP.
  • Om toelating tot die eksamen te verkry benodig u ‘n klaspunt van ten minste 40%, met ‘n subminimum van 30% vir elke afdeling. Om die module te slaag benodig u ‘n prestasiepunt van ten minste 50%, met ‘n subminimum van 40% vir elke afdeling.
  • Die datums en tye van die semestertoets en die addisionele toets word bekend gemaak deur die Fakulteit Ingenieurswese (http:/www.eng.sun.ac.za), en dié van die eksamen word gepubliseer deur die Universiteit in ‘n amptelike gids. Vir verdere besonderhede oor eksamenregulasies en promosiebepalings, sien die Jaarboek van die Universiteit, Dele 1 en 11.
  • Die uitslag van die semestertoets word net na die kort vakansie bekend gemaak.
  • Kort tutoriaaltoetse word aan die einde van tutoriaalperiodes geskryf, maar word nie gemerk nie. Die oplossings sal op WebCT gesit word.

Algemene Inligting

  • Let asseblief op die volgende reëlings in verband met die tutoriale: (a) Bywoning van alle tutoriale is verpligtend, ook vir herhalers. (b) Geen ander afsprake (akademies of andersinds) kan gedurende die tutoriaalperiodes nagekom word nie.
  • Die oplossing van die tutoriaalprobleme en die tutoriaaltoetse sal binne ‘n week na die tutoriaal op WebCT beskikbaar wees.

Studiewenke

  • Dit is belangrik dat u die basiese teorie goed verstaan sodat dit toegepas kan word. Daarom moet u eers die definisies en stellings deeglik bestudeer.
  • Ten einde te bepaal of u die werk onder die knie het, moet u gereeld ‘n verskeidenheid van probleme uit die Exercises in die handboek doen. Die dosent sal tydens die lesings ‘n aantal van hierdie probleme uitlig, maar dit bly u eie verantwoordelikheid en sal nie nagesien word nie.
  • Vra gerus u dosent om te help as u iets nie verstaan nie of vashaak met ‘n probleem. Die dosent is beskikbaar net na afloop van elke klas, asook in sy/haar kantoor (verkieslik na ‘n afspraak).
  • Hersien elke paragraaf volledig nadat dit in die klas behandel is. Sorg veral dat u nie agter raak nie, want dit is baie moeilik om weer in te haal.

Rasionaal

Die module word aangebied binne die Program vir Elektriese en Elektroniese Ingenieurswese, en verskaf basiese opleiding in Wiskunde wat noodsaaklik is vir die suksesvolle voltooing van ander modules in hierdie program. Die module ondersteun die Programuitkomste dat gegradueerdes gelewer word wat in staat is om hulle kennis van Wiskunde toe te pas om Ingenieursprobleme op te los.

Uitkomstes

‘n Student wat hierdie afdeling geslaag het, behoort oor die volgende vaardighede te beskik:

Eerste afdeling:

  • Verstaan die basiese begrippe oor komplekse getalle en komplekse funksies.
  • Kan vasstel of en waar komplekse funksies analities en differensieerbaar is.
  • Kan met die eksponensiële, logaritmiese, trigonometriese en hiperboliese funksies werk.
  • Verstaan die tegnieke van integrasie in die komplekse vlak, onder andere waar analitisiteit van die integrand, padonafhanklikheid en kontoerintegrasie ter sprake kom.
  • Kan die Integraalformules van Cauchy toepas.
  • Verstaan hoe die Taylor- of Laurentreeks van ‘n komplekse funksie gevind word.
  • Kan residue bepaal en gebruik by die berekening van verskeie soorte bepaalde integrale.

Tweede afdeling:

  • Verstaan die basiese begrippe oor oneindige rye en reekse; kan limiete van rye bepaal; kan konvergensietoetse toepas om vas te stel of oneindige reekse (insluitende magreekse) konvergeer; ken die Stelling van Taylor en die Tayloruitbreidings van die elementêre funksies.
  • Verstaan begrippe in verband met periodiese funksies en kan die Fourieruitbreidings van eenvoudige periodiese funksies bepaal, insluitende sinusreekse en cosinusreekse.
  • Kan randwaardeprobleme vir die basiese lineêre parsiële differensiaalvergelykings oplos met gebruikmaking van skeiding van veranderlikes en Fourieruitbreidings van die nie-homogene randwaardes.
  • Kan randwaardeprobleme vir die basiese lineêre parsiële differensiaalvergelykings oplos met gebruikmaking van Fouriertransforms.
  • Ken die definisie en eienskappe van Besselfunksies.